① 什么是双随机矩阵
满足三条约束：每行和 = 1、每列和 = 1、所有元素 >= 0。编辑下面 3x3 矩阵，观察约束是否成立。
② 2x2 情形：一条线段
2x2 双随机矩阵只有 1 个自由度：B(t) = [[t, 1-t], [1-t, t]]，其中 t 属于 [0,1]。
③ 3x3 情形：6 个置换矩阵顶点
3x3 的所有置换矩阵一共 6 个，它们是 Birkhoff 多面体的顶点。点击任意顶点，查看对应矩阵和投影位置。
④ 凸组合：任意双随机矩阵都可分解
Birkhoff-von Neumann 定理：任意双随机矩阵可写为置换矩阵的非负加权和，且权重和为 1。
⑤ Sinkhorn：把任意正矩阵拉回双随机集合
交替执行行归一化与列归一化。点击按钮观察偏差如何收敛。
H = exp(M / tau)\nfor k in range(K):\n H = H / row_sum(H)\n H = H / col_sum(H)
⑥ mHC 中的作用：稳定混合残差流
在 mHC 中，H_res 被约束为双随机矩阵，可以在不显著放大信号的前提下完成多流通信。
| 矩阵 | 约束 | 作用 |
|---|
| H_res | 双随机 | 流与流之间的软重排，保证稳定混合 |
| H_pre | [0,1] 门控 | 从多流读入主干计算 |
| H_post | [0,2] 门控 | 把主干输出分发回多流 |
x_{l+1} = H_res x_l + H_post ⊙ F(H_pre x_l)
你可以把它理解为：先混流，再把主干计算结果按比例写回，整体比无约束混合更稳。